Question

8．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A₁，A₂，上、下頂點分別為B₂，B₁，點P（$\frac{3}{5}$a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A₂B₂，直線PO分別交A₁B₁，A₂B₂于點M，N．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若MN=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，求橢圓C的方程；
（3）在第（2）問條件下，求點 Q（$\frac{1}{3}，0$）與橢圓C上任意一點T的距離d的最小值．

Answer 1

分析 （1）將點P（$\frac{3}{5}$a，m）代入橢圓C方程，得P$（\frac{3a}{5}，\frac{4b}{5}）$，由PO⊥A₂B₂，即${k}_{{A}_{2}{B}_{2}}•{k}_{OP}$=-1，以及b²=a²-c²，可得e=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知直線A₂B₂的方程、橢圓離心率，又點O到直線A₂B₂的距離為$\frac{1}{2}$MN，代入計算可得a²、b²的值，從而可得橢圓C的方程；
（3）設點T（x₀，y₀），根據兩點間距離公式及不等式可得TQ最小值．

解答 解：（1）∵點P（$\frac{3}{5}$a，m）是橢圓C上一點，∴$\frac{（\frac{3}{5}a）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{m}^{2}}{^{2}}=1$，
又∵b＞0，m＞0，∴m=$\frac{4b}{5}$，即P$（\frac{3a}{5}，\frac{4b}{5}）$，
∵PO⊥A₂B₂，∴${k}_{{A}_{2}{B}_{2}}•{k}_{OP}$=-1，
又∵A₂（a，0），B₂（0，b），∴$\frac{b-0}{0-a}•\frac{\frac{4b}{5}-0}{\frac{3a}{5}-0}=-1$，化簡得4b²=3a²，
又b²=a²-c²，所以a²=4c²，所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）知直線A₂B₂的方程為$\frac{y-0}{x-a}=\frac{b-0}{0-a}$，即bx+ay-ab=0，
∵MN=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，∴ON=$\frac{|0+0-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，化簡得$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{12}{7}$，
又由（1）知4b²=3a²，所以a²=4，b²=3，
從而橢圓C的方程為$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1；
（3）設橢圓C：$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1上任意一點T（x₀，y₀），則點 Q（$\frac{1}{3}，0$）與點T之間的距離為：
$\begin{array}{l}TQ=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{3}）}^2}+{y_0}^2}=\sqrt{{{（{x_0}-\frac{1}{3}）}^2}+3（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）}=\sqrt{\frac{1}{4}{x_0}^2-\frac{2}{3}{x_0}+\frac{28}{9}}\\=\sqrt{\frac{1}{4}{{（{x_0}-\frac{4}{3}）}^2}+\frac{24}{9}}\end{array}$
因為x₀∈（-2，2），所以當${x_0}=\frac{4}{3}$時，TQ最小為$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法．