Question

12．如圖，垂直于x軸的直線交雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$于M，N兩點，A₁，A₂為雙曲線的左右頂點，求直線A₁M與A₂N的交點P的軌跡方程，并指出軌跡的形狀．

Answer 1

分析 利用交軌法來求直線MA₁和NA₂的交點的軌跡方程，先根據(jù)已知條件求出A₁、A₂點的坐標(biāo)，設(shè)M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），求出直線MA₁和NA₂的方程，聯(lián)立方程，方程組的解為直線MA₁和NA₂交點的坐標(biāo)，再把M點坐標(biāo)（x₀，y₀）用x，y表示，代入雙曲線方程，化簡即得軌跡的方程．

解答 解：∵A₁、A₂是雙曲線的左、右頂點，∴A₁（-a，0），A₂（a，0）
∵M(jìn)N是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的弦，且MN與x軸垂直，∴設(shè)M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀）
則直線MA₁和NA₂的方程分別為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），y=$\frac{-{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$（x-a）
聯(lián)立兩方程，解得x₀=$\frac{{a}^{2}}{x}$，y₀=$\frac{ay}{x}$，
∵M(jìn)（x₀，y₀）在雙曲線上，代入雙曲線方程，得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$
即直線MA₁和NA₂的交點的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，軌跡為橢圓．

點評 本題主要考查了交軌法求軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力．