Question

已知數(shù)列{a_n}，S_n為它的前n項的和，已知a₁=2，a_n+1=S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求證數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，并求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由數(shù)列遞推式求出a₂，取n≥2得另一遞推式，作差后得到數(shù)列從第二項起構(gòu)成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案；
（2）由a_n+1=S_n得a_n+1+S_n=2S_n，即S_n+1=2S_n，驗證S₁不為0后得答案．

解答： 解：（1）∵a₁=2a_n+1=S_n…①
∴當(dāng)n=1時，a₂=S₁=a₁=2，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-1…②
①-②得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
∴a_n+1=2a_n，依題a_n≠0，
∴

an+1

an

=2（n≥2），
又∵

a2

a1

=1≠2，
∴a₂，a₃，a₄，…，a_n成等比，公比為2，
∴n≥2時，an=a2qn-2=2×2n-2=2n-1．
∴an=

2(n=1) 2n-1(n≥2)

；
（2）∵a_n+1=S_n，
∴a_n+1+S_n=2S_n，
∴S_n+1=2S_n，
∵S₁=a₁=2，
∴S_n≠0，
則

Sn+1

Sn

=2．
∴數(shù)列{S_n}是首項S₁=2，公比為2的等比數(shù)列，
∴Sn=2×2n-1=2n．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．