Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)，并求出最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)周期性的定義證明f（x+4）=f（x）．
（2）令x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，求出f（x），再根據(jù)函數(shù)的周期性，求出答案．
（3）分別求出f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0，求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，再根據(jù)函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，且T=4是其一個(gè)周期．繼而求出答案．

解答： （1）證明∵f（-x）=-f（x），f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函數(shù)，且T=4是其一個(gè)周期．
（2）令x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
∴f（-x）=-2x-x²，
又f（-x）=-f（x），
∴在x∈[-2，0]，f（x）=2x+x²，
∴x∈[2，4]，那么x-4∈[-2，0]，那么f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8，
由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x-4）=x²-6x+8，
∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）=x²-6x+8，
（3）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
∴f（0）=0，f（1）=1，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）=x²-6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0-1+0=0，
∵，y=f（x）是周期函數(shù)，且T=4是其一個(gè)周期．
∴2012÷4=503
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）=f（0）+503×0=0+0=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)周期性，奇偶性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．