設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x).
(1)若a=1,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若k為整數(shù),若x>0時(shí),k<
x+1
ex-1
+x恒成立,試求k的最大值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)因?yàn)閍=1時(shí),f(x)=ex-x-2,所以f'(x)=ex-1,f'(0)=-1,代入點(diǎn)斜式方程,求出切線方程即可;
(2)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex-a,若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;若a>0,f'(x)=0,解得x=lna,從而求出單調(diào)區(qū)間;
(3)由k<
x+1
ex-1
+x(x>0)
①,令g(x)=
x+1
ex-1
+x
,則g′(x)=
-xex-1
(ex-1)2
+1=
ex(ex-x-2)
(ex-1)2
.得h(x)在(0,+∞)存在唯一的零點(diǎn),故g'(x)在(0,+∞)存在唯一的零點(diǎn)a,由g(x)min=g(a)=
a+1
ea-1
+a
.從而g(a)=a+1∈(2,3).由于①式等價(jià)k<g(a),故求出整數(shù)K的最大值.
解答: 解:(1)因?yàn)閍=1時(shí),f(x)=ex-x-2,所以f'(x)=ex-1,f'(0)=-1,
故切線方程是y=-1
(2)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex-a,
若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
若a>0,f'(x)=0,解得x=lna,
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)變化如下表:
x(-∞,lna)lna(lna,+∞)
f'(x)-0+
f(x)極小值
所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間是:(-∞,lna),增區(qū)間是:(lna,+∞).
(3)即k<
x+1
ex-1
+x(x>0)
①,
g(x)=
x+1
ex-1
+x
,則g′(x)=
-xex-1
(ex-1)2
+1=
ex(ex-x-2)
(ex-1)2

由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)單調(diào)遞增,而h(1)<0,h(2)>0,
所以h(x)在(0,+∞)存在唯一的零點(diǎn),故g'(x)在(0,+∞)存在唯一的零點(diǎn)a,
且a∈(1,2).
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),g'(x)>0,所以g(x)min=g(a)=
a+1
ea-1
+a

又由g'(a)=0,即得ea-a-2=0,所以ea=a+2,
這時(shí)g(a)=a+1∈(2,3).
由于①式等價(jià)k<g(a),故整數(shù)k的最大值為2.
點(diǎn)評(píng):本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,求曲線的切線方程,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
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四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,且ABCD是菱形,AB=BC=2,AA1=4,∠ABC=60°.
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1
ax+2
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1
2
時(shí),P的縱坐標(biāo)恒為
1
4

(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=f(
n
n0
)(n0∈N*,n=1,2,…,n),求數(shù)列{an}的前n0和Sn0

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(Ⅱ)求數(shù)列{|an-bn|}的前n項(xiàng)的和Sn

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1
2
,a10=
1
1024
,前n項(xiàng)和為Sn
(1)求{an}的通項(xiàng)及Sn
(2)求{nSn}的前n項(xiàng)和Tn

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