Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-2，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若k為整數(shù)，若x＞0時(shí)，k＜

x+1

ex-1

+x恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閍=1時(shí)，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，代入點(diǎn)斜式方程，求出切線方程即可；
（2）f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）=e^x-a，若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a＞0，f'（x）=0，解得x=lna，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（3）由k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①，令g(x)=

x+1

ex-1

+x，則g′(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．得h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)a，由g（x）_min=g（a）=

a+1

ea-1

+a．從而g（a）=a+1∈（2，3）．由于①式等價(jià)k＜g（a），故求出整數(shù)K的最大值．

解答： 解：（1）因?yàn)閍=1時(shí)，f（x）=e^x-x-2，所以f'（x）=e^x-1，f'（0）=-1，
故切線方程是y=-1
（2）f（x）的定義域?yàn)镽，f'（x）=e^x-a，
若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
若a＞0，f'（x）=0，解得x=lna，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（-∞，lna），增區(qū)間是：（lna，+∞）．
（3）即k＜

x+1

ex-1

+x(x＞0)①，
令g(x)=

x+1

ex-1

+x，則g′(x)=

-xex-1

(ex-1)2

+1=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．
由（1）知，函數(shù)h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）單調(diào)遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)，故g'（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)a，
且a∈（1，2）．
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）_min=g（a）=

a+1

ea-1

+a．
又由g'（a）=0，即得e^a-a-2=0，所以e^a=a+2，
這時(shí)g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等價(jià)k＜g（a），故整數(shù)k的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求曲線的切線方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．