Question

已知關(guān)于x的不等式：|2x-m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2．
（Ⅰ）求整數(shù)m的值；
（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a⁴+4b⁴+4c⁴=m，求a²+b²+c²的最大值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（I）由條件可得

m-1

2

≤2≤

m+1

2

，求得3≤m≤5．根據(jù)不等式僅有一個整數(shù)解2，可得整數(shù)m的值．
（2）根據(jù)a⁴+b⁴+c⁴=1，利用柯西不等式求得（a²+b²+c²）²≤3，從而求得a²+b²+c²的最大值．

解答： 解：（I）由|2x-m|≤1，得 

m-1

2

≤x≤

m+1

2

．∵不等式的整數(shù)解為2，∴

m-1

2

≤2≤

m+1

2

⇒3≤m≤5．
又不等式僅有一個整數(shù)解2，∴m=4．
（2）由（1）知，m=4，故a⁴+b⁴+c⁴=1，
由柯西不等式可知；（a²+b²+c²）²≤（1²+1²+1²）[（a²）²+（b²）²+（c²）²]
所以（a²+b²+c²）²≤3，即a2+b2+c2≤

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)a2=b2=c2=

3

3

時取等號，最大值為

3

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．