Question

4．若a是f（x）=sinx-xcosx在x∈（0，2π）的一個零點，則?x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（　�。�

• A． $\frac{sinx}{x}≥\frac{sina}{a}$
• B． cosa≥$\frac{sinx}{x}$
• C． $\frac{3π}{2}$≤a≤2π
• D． a-cosa≥x-cosx

Answer 1

分析 利用導數(shù)研究單調性，運用零點的存在性定理判斷出a所在的范圍，根據f（x）的正負確定g（x）=$\frac{sinx}{x}$的最小值．

解答 解：f′（x）=xsinx，
當x∈（0，π），f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
當x∈（π，2π），f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減，
又f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0，
∴a∈（π，2π），
∴當x∈（0，a），f（x）＞0，當x∈（a，2π），f（x）＜0，
令g（x）=$\frac{sinx}{x}$，g′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
∴當x∈（0，a），g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調遞減，當x∈（a，2π），g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調遞增，
∴g（x）≥g（a）．
故選：A．

點評 本題主要考查零點的存在性定理，利用導數(shù)求最值及計算能力．