Question

函數(shù)f（x）=

cx+d

1+x2

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

（1）求實(shí)數(shù)c和d，并確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）=

cx+d

1+x2

是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
可得f（0）=0，解得d=0．
再由f（1）=

c

2

=

1

2

，可得 c=1．
故函數(shù)的解析式為 f（x）=

x

1+x2

．
（2）由函數(shù)的解析式可得函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則 f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

 
=

x1(1+x22)-x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

x1-x2+x1•x2(x2-x1)

(1+x12)(1+x22)

=

( x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

．
由題設(shè)可得 x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴

( x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)．