設y=f（x）由方程y-x=ex（1-y）所確定，求
lim
n→∞
n[f（
1
n
）-1]．
考點：極限及其運算
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：根據y=f（x）滿足方程y-x=ex（1-y），求出y=f（0）的值，再對方程兩邊求導，求出f′（0）的值；利用洛必塔法則計算
lim
n→∞
n[f（
1
n
）-1]即可．
解答： 解：∵y=f（x）滿足方程y-x=ex（1-y），
∴當x=0時，y=f（0）=e0=1；
對方程兩邊求導，得；
f′（x）-1=ex（1-y）•（1-y-xf′（x）），
當x=0時，f′（0）=1•（1-1-0）=0；
當x＞0時，∵n→+∞時，
1
n
→0，
∴f（
1
n
）=1，∴f（
1
n
）-1=0，
∴可運用洛必塔法則計算
lim
n→∞
n[f（
1
n
）-1]
=
lim
n→∞
f(
1
n
)-1
1
n

=
lim
n→∞
-1
n2
•f′(
1
n
)
-1
n2

=
lim
n→∞
f′（
1
n
）
=0．
點評：本題考查了導數(shù)的綜合運用問題，解題時應根據高等數(shù)列的知識，利用洛必塔法進行計算，是難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f （t）=log2（2-t）+
t-1
的定義域為D．
（Ⅰ） 求D；
（Ⅱ） 若函數(shù)g（x）=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的兩個焦點，過F2的直線與橢圓交于A，B兩點，則△ABF1的周長為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-3，g（x）=bx-1+cx-2（a，b∈R），且g（1）-g（-
1
2
）=f（0）．
（1）試求b，c所滿足的關系式；
（2）若c=0時，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）內有唯一解，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=
1
e
f（x）-（x+1）（e為自然對數(shù)）．
（1）求函數(shù)g（x）的最大值；
（2）求證：e 1+
1
2
+
1
3
+…
1
n
＞n+1（n∈N*）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ax（a＞0且a≠1），x∈R，設x1、x2∈R且x1≠x2，判斷
1
2
[f（x1）+f（x2）]與f（
x1+x2
2
）的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：log327×92．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設定義在R上的函數(shù)f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x （ai∈R，i=0，1，2，3），當x=-
2
2
時，f （x）取得極大值
2
3
，并且函數(shù)y=f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f （x）的表達式；
（2）試在函數(shù)f （x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間[-1，1]上；
（3）求證：|f（sinx）-f（cosx）|≤
2
2
3
（x∈R）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=-x2+2x（x∈[0，3]）的值域為
 
．

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