Question

已知函數(shù)f（x）=elnx，g（x）=

1

e

f（x）-（x+1）（e為自然對(duì)數(shù)）．
（1）求函數(shù)g（x）的最大值；
（2）求證：e 1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

＞n+1（n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,不等式的證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求g′（x）=

1-x

x

，容易求出g（x）在（0，+∞）上的極大值，也是最大值為g（1）=-2；
（2）要證明原不等式成立，只需先證明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)．而由（1）知lnx-（x+1）≤-2，所以x-1≥lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，令x-1=t，x=t+1，所以t≥ln（t+1），取t=

1

n

，便得到

1

n

＞ln(

1

n

+1)=ln(

n+1

n

)，這樣讓n從1取到n，把得到的不等式的左右兩邊同時(shí)相加便可得：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)，對(duì)不等式兩邊同時(shí)取以e為底的指數(shù)便得到原不等式．

解答： 解：（1）g（x）=lnx-（x+1），g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

；
∴x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0；
∴x=1時(shí)，g（x）取得極大值，也是最大值-2；
（2）由（1）知，對(duì)任意的x∈（0，+∞），lnx-（x+1）≤-2，即：
lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，令x-1=t，x=t+1，則：
ln（t+1）≤t，即t≥ln（t+1），取t=

1

n

，n∈N^*，則：

1

n

＞ln(

1

n

+1)=ln(

n+1

n

)；
∴1＞ln2；

1

2

＞ln

3

2

；

1

3

＞ln

4

3

；
…

1

n

＞ln(

n+1

n

)
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(2•

3

2

•

4

3

…

n+1

n

)=ln（n+1）；
∴e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞n+1．

點(diǎn)評(píng)：考查極值的概念，根據(jù)極值求函數(shù)的最值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．