Question

【題目】是等邊三角形，邊長(zhǎng)為4， 邊的中點(diǎn)為，橢圓以， 為左、右兩焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)。

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，求證：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為（2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 ，可得b,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由對(duì)稱性知需證直線與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為定值，設(shè)， ，利用點(diǎn)斜式寫出直線與方程，解方程組得交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，再設(shè)的方程為，代入化簡(jiǎn)得，聯(lián)立直線MN方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得.

試題解析：解：（1）由題意可知兩焦點(diǎn)為與，且，因此橢圓的方程為.

（2）①當(dāng)不與軸重合時(shí)，

設(shè)的方程為，且，

聯(lián)立橢圓與直線消去可得，即

，

設(shè)，

則： ①

： ②

②－①得

則，即.

②當(dāng)與軸重合時(shí)，即的方程為，即， .

即： ①

： ②

聯(lián)立①和②消去可得.

綜上與的交點(diǎn)在直線上.