Question

【題目】已知點是圓上的任意一點，點為圓的圓心，點與點關于平面直角系的坐標原點對稱，線段的垂直平分線與線段交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若軌跡與軸正半軸交于點，直線交軌跡于兩點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據圓的的性質及對稱的幾何性質可得，動點的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓，從而可得結果；（2）把直線，代入橢圓方程消去得： ，根據韋達定理、弦長公式 及點到直線的距離公式、三角形面積公式可將的面積表示為關于 的函數(shù)，利用基本不等式求最值即可.

試題解析：（1）由題意知圓的圓心為，半徑為4，

所以，

由橢圓的定義知，動點的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓，

設橢圓的方程為（），且焦距為 ，則：

，即，

故橢圓的方程為；

（2）把直線，

代入橢圓方程消去得： ，

由得： 或，

因為直線與橢圓相交于兩點， ，

則， ，

因為點，直線與軸交于點

的面積

，

當且僅當，即時取等號，

滿足

所心面積的取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形范圍的.