如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，
D，E，I分別是CC1，AB，AA1的中點．
（1）求證：CE∥平面A1BD
（2）若H為A1B上的動點，CH與平面A1AB所成的最大角的正切值為
15
2
，求側(cè)棱AA1的長．
（3）在（2）的條件下，求二面角I-BD-A的余弦值．
考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）證明四邊形GDCE是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可以證明；
（2）先說明連接EH，則∠EHC為CH與平面AA1B所成的角，再在△CEH中，利用正切函數(shù)，即可得到結(jié)論；
（3）利用面積比，即可求出二面角I-BD-A的余弦值．
解答： 解：（1）取BA1的中點G，連接EG，DG，
∴GE平行且等于
1
2
AA1，
∵D是CC1中點，
∴CD平行且等于
1
2
AA1，
∴GE平行且等于CD，
∴四邊形GDCE是平行四邊形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A1BD，GD?平面A1BD，
∴CE∥平面A1BD，
（2）∵AA1⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA1⊥CE，
又△ABC等邊三角形，E是中點，
∴CE⊥AB，CE=
3
2
AB=
3
，
所以CE⊥面AA1B，
連接EH，則∠EHC為CH與平面AA1B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH
，
所以EH最短時∠EHC最大，
此時，EH⊥A1B，∴tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH
=
15
2
，
∴EH=
2
5
5

由平幾相似關(guān)系得AA1=4；
（3）△IBD中，IB=DB=2
2
，ID=4，∴S△IBD=
1
2
×2×2=2，
△ABD中，AB=4，DB=2
2
，AD=2
5
，∴cos∠ABD=
16+8-20
2×4×2
2
=
2
8
，
∴sin∠ABD=
62
8
，
∴S△ABD=
1
2
×4×2
2
×
62
8
=
31
，
∴二面角I-BD-A的余弦值為
2
31
=
2
31
31
．
點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查線面角，面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面平行的判定方法，正確作出線面角．
練習冊系列答案
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已知數(shù)列1×
1
2
，2×
1
4
，3×
1
8
，4×
1
16
，…
（1）求數(shù)列的通項公式．
（2）求此數(shù)列的前n項和．

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已知函數(shù)f（x）=lnx+
a
x
+b在點（1，3）處與y軸垂直．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值．

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如圖，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件
 
時，有A1B⊥B1D1．（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）

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已知函數(shù)f（x）=
lnx，0＜x≤e
2-lnx，x＞e
，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c取值范圍為
 
．

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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（
3
，-
3
2
），且橢圓的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個定點．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0），滿足對稱軸為直線x=1，且方程f（x）=x有兩個相等實根，
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數(shù)m，n（m＜n），使f（x）的定義域為[m，n]，值域為[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

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