Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（

3

，-

3

2

），且橢圓的離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A，C及B，D，設(shè)線段AC，BD的中點(diǎn)分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

1

2

，

3

a2

+

3

4b2

=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，AC：x=1，則 BD：y=0．直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)(

4

7

，0)；當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)AC：y=k（x-1）（k≠0），BD：y=-

1

k

(x-1)．聯(lián)立方程組

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)(

4

7

，0)．

解答： （1）解：由e=

c

a

=

1

2

，得

c2

a2

=

1

4

，
即a²=4c²=4（a²-b²），即3a²=4b²． …（1分）
由橢圓過點(diǎn)(

3

，-

3

2

)知，

3

a2

+

3

4b2

=1． …（2分）
聯(lián)立（1）、（2）式解得a²=4，b²=3．   …（3分）
故橢圓的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）證明：直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)(

4

7

，0)．…（5分）
橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），分兩種情況．
1°當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，
AC：x=1，則 BD：y=0．由橢圓的通徑得P（1，0），
又Q（0，0），此時(shí)直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)(

4

7

，0)．…（6分）
2°當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)AC：y=k（x-1）（k≠0），
則 BD：y=-

1

k

(x-1)．
又設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程組

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

，
消去y并化簡得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，…（8分）
所以x1+x2=

8k2

4k2+3

．y1+y2=k(x1+x2-2)=k(

8k2

4k2+3

-2)=-

6k

4k2+3

．P(

4k2

4k2+3

，-

3k

4k2+3

)．…（10分）
由題知，直線BD的斜率為-

1

k

，
同理可得點(diǎn)Q(

4

4+3k2

，

3k

4+3k2

)．…（11分）
kPQ=

3k 4+3k2 + 3k 4k2+3

4 4+3k2 - 4k2 4k2+3

=-

7k

4(k2-1)

．
y-

3k

4+3k2

=-

7k

4(k2-1)

(x-

4

4+3k2

)，…（12分）
即4yk²+（7x-4）k-4y=0．
令4y=0，7x-4=0，-4y=0，解得x=

4

7

，y=0．
故直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)(

4

7

，0)；…（13分）
綜上可知，直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn)(

4

7

，0)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過一個(gè)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．