Question

19．設(shè)非空集合A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={y|y=x²，x∈A}，是否存在實(shí)數(shù)a，使B∩C=C？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 B∩C=C等價(jià)為C⊆B，根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)-2≤x≤a時(shí)，-4≤2x≤2a，-1≤2x+3≤2a+3，
即B=[-1，2a+3]，
若B∩C=C，
則等價(jià)為C⊆B，
則2a+3≥0，即a≥-$\frac{3}{2}$，
若-$\frac{3}{2}$≤a≤2，
則C={y|y=x²，x∈A}={y|0≤x≤4}，此時(shí)滿足2a+3≥4，即a≥$\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{2}$≤a≤2，
若a＞2，則C={y|y=x²，x∈A}={y|0≤x≤a²}，此時(shí)滿足2a+3≥a²，
即a²-2a-3≤0，此時(shí)-1≤a≤3，此時(shí)2＜a≤3，
綜上$\frac{1}{2}$≤a≤3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)值域之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要進(jìn)行分類討論．