Question

14．若數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，證明：S_n+m=S_n+qⁿS_m．

Answer 1

分析 當(dāng)公比q=1時(shí)，易得S_n+m=S_n+qⁿS_m=（n+m）a₁；當(dāng)公比q≠1時(shí)，由求和公式代入驗(yàn)證可得S_n+m=S_n+qⁿS_m=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^n+m），綜合可得．

解答 證明：當(dāng)公比q=1時(shí)，有S_n=na₁，
∴S_n+m=（n+m）a₁，
S_n+qⁿS_m=na₁+1ⁿma₁=（n+m）a₁，
∴S_n+m=S_n+qⁿS_m；
當(dāng)公比q≠1時(shí)，有S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ），
∴S_n+m=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^n+m），
S_n+qⁿS_m=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）+qⁿ$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^m）
=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ+qⁿ-q^m+n）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^n+m），
∴S_n+m=S_n+qⁿS_m．
綜上可得S_n+m=S_n+qⁿS_m

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及分類(lèi)討論的思想，屬基礎(chǔ)題．