Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a為正常數），且函數f（x）和g（x）的圖象與y軸的交點重合．
（1）求a實數的值
（2）若h（x）=f（x）+b （b為常數）試討論函數h（x）的奇偶性；
（3）若關于x的不等式f（x）﹣2 ＞a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：

f（0）=g（0），

即|a|=1，

又∵a＞0，

∴a=1

（2）解：由（1）可知，f（x）=|x﹣1|，

g（x）=x2+2x+1=（x+1）2，

∴h（x）=f（x）+b

=|x﹣1|+b|x+1|，

若h（x）為偶函數，即h（x）=h（﹣x），則有b=1，此時h（2）=4，h（﹣2）=4，

故h（2）≠﹣h（﹣2），即h（x）不為奇函數；

若h（x）為奇函數，即h（x）=﹣h（﹣x），則b=﹣1，此時h（2）=2，h（﹣2）=﹣2，

故h（2）≠h（﹣2），即h（x）不為偶函數；

綜上，當且僅當b=1時，函數h（x）為偶函數，且不為奇函數，

當且僅當b=﹣1時，函數h（x）為奇函數，且不為偶函數，

當b≠±1時，函數h（x）既非奇函數又非偶函數

（3）解：關于x的不等式f（x）﹣2 ＞a有解，

即x的不等式|x﹣1|﹣2|x+1|＞a有解

故|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值大于或等于a，

畫出函數y=|x﹣1|﹣2|x+1|的圖象，如圖所示：

由圖象可知，|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為2，

∴a＜2

【解析】（1）由題意得：f（0）=g（0），即|a|=1，可得a=1．（2）利用奇偶函數的定義，確定b的值，進而可得函數的奇偶性．（3）關于x的不等式f（x）﹣2 ＞a有解轉化為|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值大于或等于a，畫出函數畫出函數y=|x﹣1|﹣2|x+1|的圖象，由圖象可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．