Question

19．已知點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（cosx，sinx）x∈R．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，且x∈[0，2π），求x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$，求f（x）的最大值，并求使f（x）取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）由向量模的公式和同角的基本關(guān)系式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理再由兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值和x的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
即為$\sqrt{（3-cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{co{s}^{2}x+（3-sinx）^{2}}$，
化簡(jiǎn)可得，cosx=sinx，
即tanx=1，且x∈[0，2π），
則x=$\frac{π}{4}$或$\frac{5π}{4}$；
（2）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$
=（cosx-3）cosx+（sinx-3）sinx
=1-3（sinx+cosx）
=1-3$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=2kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z時(shí)，
f（x）取得最大值，且為1+3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的公式，考查兩角和的正弦公式及正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．