Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在區(qū)間[2，3]上有最大值5，最小值2．
（1）求a，b的值；  
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）=a（x-1）²+2+b-a，（a≠0），對(duì)稱(chēng)軸為x=1，分當(dāng)a＞0時(shí)、當(dāng)a＜0時(shí)兩種情況，分別依據(jù)條件利用函數(shù)的單調(diào)性求得a、b的值．
（2）由（1）可求出g（x），再根據(jù)[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，利用對(duì)稱(chēng)軸得到不等式組解得即可．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2+b=a（x-1）²+2+b-a，（a≠0），對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，
由題意可得

f(2)=2+b=2 f(3)=2+b+3b=5

，解得

a=1 b=0

，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，
由題意可得

f(2)=2+b=5 f(3)=2+b+3a=2

，解得

a=-1 b=3

綜上可得，

a=1 b=0

，或

a=-1 b=3

（2）則由（1）可得，當(dāng)b=0，a=1時(shí)，g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2，
再由函數(shù)g（x）在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，可得

m+2

2

≤2或

m+2

2

≥4，
解得 m≤2，或m≥6，
故m的范圍為（-∞，2]∪[6，+∞）．
當(dāng)b=3，a=-1時(shí)，g（x）=f（x）-mx=-x²-（m-2）x+5，再由函數(shù)g（x）在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，可得

m-2

2

≤2或

m-2

2

≥4，
解得 m≤6，或m≥10，
故m的范圍為（-∞，6]∪[10，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．