Question

函數(shù)f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀=∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式化簡，根據(jù)題意求得函數(shù)的周期，利用周期公式求得ω，最后利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)題意求得sin（

π

4

x₀+

π

3

），利用平方關(guān)系求得cos（

π

4

x₀+

π

3

），最后利用兩角和公式求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=3cosωx+

3

sinωx=2

3

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）=2

3

sin（ωx+

π

3

），
依題意知

T

2

=

2 3

3

×2=4，
∴T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得-

10

3

+8k≤x≤

2

3

+8k，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-

10

3

+8k，

2

3

+8k]（k∈Z）．
（2）f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
∴sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，
∵x₀=∈（-

10

3

，

2

3

），
∴

π

4

x₀+

π

3

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

1- 16 25

=

3

5

，
∴f（x₀+1）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

4

+

π

3

）=2

3

[sin（

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+cos（

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

]=2

3

[

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

]=

7 6

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的運(yùn)用和一定的運(yùn)算能力．