Question

（2013•濰坊一模）如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M必在點(diǎn)N的右側(cè)），且|MN|=3橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距等于2|ON|，且過點(diǎn)(

2

，

6

2

)．
（I） 求圓C和橢圓D的方程；
（Ⅱ） 設(shè)橢圓D與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為P，若過點(diǎn)M的動(dòng)直線l與橢圓D交于A、B兩點(diǎn)，∠ANM=∠BNP是否恒成立？給出你的判斷并說明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)圓C的半徑r，由題意可得圓心（r，2）由MN的長(zhǎng)度可求半徑r，進(jìn)而可求圓的方程，在圓的方程中，令y=0可求M，N的坐標(biāo)，從而可求c，然后由已知點(diǎn)在橢圓上可求b，進(jìn)而可求a，可求橢圓方程
（II）由題意可設(shè)直線L可設(shè)為y=k（x-4），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，x₁x₂，從而可求k_AN+k_BN=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=0，進(jìn)而可得

解答：解：（I）設(shè)圓C的半徑r，由題意可得圓心（r，20
∵|MN|=3
∴r²=(

3

2

)2+22=

25

4

故圓的方程為：(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

①
①中，令y=0可得x=1或x=4，則N（1，0），M（4，0）
即c=1
∵

2

a2

+

3

2b2

=1，消去a可得2b⁴-5b²-3=0
解得b²=3，則a²=4
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（II）恒有，∠ANM=∠BNP成立
∵M(jìn)在橢圓的外部
∴直線L可設(shè)為y=k（x-4）
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

可得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

k_AN+k_BN=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-4)

x1-1

+

k(x2-4)

x2-1

=

k(x1-4)(x2-1)+k(x2-4)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

k

(x1-1)(x2-1)

(

128k2-24-160k2

3+4k2

+8)=0
∴K_AN=-K_BN即∠ANM=∠BNP
當(dāng)x₁=1或x₂=1時(shí)，k=±

1

2

，此時(shí)對(duì)方程△=0不合題意
綜上，過點(diǎn)M的動(dòng)直線l與橢圓D交于A，B兩點(diǎn)，恒有∠ANM=∠BNP成立

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性