Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)．離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)F（-1，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q是橢圓上一點(diǎn)，過(guò)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若|

MQ|

|=2|

QF

|，求直線l的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）由題意，得

c a = 1 2 c=1

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由|

MQ|

|=2|

QF

|，知

MQ

=2

QF

，或

MQ

=2

FQ

，當(dāng)

MQ

=2

QF

時(shí)，xQ=-

2

3

，yQ=

k

3

，能求出k=±2

6

．當(dāng)

MQ

=2

FQ

時(shí)，x_Q=-2，y_Q=0，此時(shí)k=0．由此能求出直線l的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
由題意，得

c a = 1 2 c=1

，解得a=2，c=1，b²=4-1=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵|

MQ|

|=2|

QF

|，∴

MQ

=2

QF

，或

MQ

=2

FQ

，
當(dāng)

MQ

=2

QF

時(shí)，點(diǎn)Q分

MF

的比為2，
∴xQ=-

2

3

，yQ=

k

3

，
又點(diǎn)Q在橢圓上，
代入橢圓方程，得

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

3

=1，解得k=±2

6

．
當(dāng)

MQ

=2

FQ

時(shí)，x_Q=-2，y_Q=0，此時(shí)k=0．
∴直線l的斜率為±2

6

或0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．