Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定義域，再求出f′（x）=

x+a

x2

，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分別討論①若a≥-1，②若a≤-e，③若-e＜a＜-1的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的值；
（Ⅲ）由題意得a＞xlnx-x³，令g（x）=xlnx-x³，得到h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，h′（x）=

1-6x2

x

，得出h（x）在（1，+∞）遞減，從而g（x）在（1，+∞）遞減，問題解決．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=

x+a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=

x+a

x2

，
①若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此時(shí)f（x）在[1，e]上遞增，
∴f（x）min=f（1）=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

（舍），
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此時(shí)f（x）在[1，e]上遞減，
∴f（x）min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，∴a=-

e

2

（舍），
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a，
當(dāng)1＜x＜-a時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）遞減，
當(dāng)-a＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）遞增，
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

，
綜上a=-

e

；
（Ⅲ）∵f（x）＜x²，∴l(xiāng)nx-

a

x

＜x²，又x＞0，∴a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，h′（x）=

1-6x2

x

，
∵x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）遞減，
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）遞減，
∴g（x）＜g（1）=-1，∴a≥-1時(shí)，f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是一道綜合題．