Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{log₂a_n}是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，公差不為0的等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c為常數(shù)），且b₃=24．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式以及S_n，T_n的表達(dá)式；
（2）記數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Q_n，試比較Q_n與$\frac{{S}_{n}}{2}$的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由于數(shù)列{log₂a_n}是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：log₂a_n=-n，a_n．利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：S_n．
由于公差不為0的等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c為常數(shù)），且b₃=24．可得b₁=cb₂，T₂=b₁+b₂=2cb₃=48c，解得b₁，b₂，利用2b₂=b₁+b₃，解出c即可得出，進(jìn)而得出T_n．
（2）$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”可得數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Q_n，通過作差Q_n-$\frac{{S}_{n}}{2}$即可比較出大小關(guān)系．

解答 解：（1）∵數(shù)列{log₂a_n}是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴l(xiāng)og₂a_n=-1-（n-1）=-n，
∴a_n=2^-n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
∵公差不為0的等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•b_n+1（其中c為常數(shù)），且b₃=24．
∴b₁=cb₂，T₂=b₁+b₂=2cb₃=48c，解得b₁=$\frac{48{c}^{2}}{c+1}$，b₂=$\frac{48c}{c+1}$，
∵2b₂=b₁+b₃，
∴$\frac{96c}{c+1}$=$\frac{48{c}^{2}}{c+1}$+24，
化為2c²-3c+1=0，
解得c=1或$\frac{1}{2}$．
c=1時(shí)，d=0，舍去．
∴c=$\frac{1}{2}$．
∴b₁=8，b₂=16，
∴公差=16-8=8．
∴b_n=8+8（n-1）=8n．
T_n=$\frac{1}{2}n×8（n+1）$=4n²+4n．
（2）$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Q_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．
Q_n-$\frac{{S}_{n}}{2}$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$-$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+2}{2n+2}）$，
∵$\frac{1}{{2}^{n}}$$≤\frac{1}{2}$，$\frac{n+2}{2n+2}$$＞\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}（\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n+2}{2n+2}）$＜0，
∴Q_n＜$\frac{{S}_{n}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、比較方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．