4.已知銳角△ABC的三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,滿(mǎn)足a-c=4,且cos(A-C)=$\frac{7}{8}$,則AC邊上的高BD=11.

分析 三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,可解得B=60°,A-C=2(A-B),在BC上取BD等于c,設(shè)∠CAD=θ,則,A-C=2(A-B)=2θ,∠CDA=120°,由cos(A-C)=cos2θ=$\frac{7}{8}$,解得sinθ,由正弦定理可得b,由余弦定理可得ac=b2-16,根據(jù)${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$,即可得解.

解答 解:∵銳角三角形的內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,
則有2B=A+C.又A+B+C=180°,
∴B=60°,
∴A-C=2(A-B),
如圖,在BC上取BD等于c,設(shè)∠CAD=θ,AC邊上的高BD=h,
則,A-C=2(A-B)=2θ,∠CDA=120°,
∴cos(A-C)=cos2θ=$\frac{7}{8}$,解得:cosθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,sin$θ=\frac{1}{4}$,
∴△ADC中,由正弦定理可得:$\frac{sin∠ADC}=\frac{a-c}{sinθ}$,即b=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}$=8$\sqrt{3}$.
∵由余弦定理可得:cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$,又a-c=4,
∴ac=b2-16.
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$,可得:h=$\frac{acsinB}$=$\frac{^{2}-16}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{192-16}{8\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=11.
故答案為:11.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基本知識(shí)的考查.

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14.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{log2an}是以-1為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,公差不為0的等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿(mǎn)足$\frac{{T}_{n}}{n}$=c•bn+1(其中c為常數(shù)),且b3=24.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式以及Sn,Tn的表達(dá)式;
(2)記數(shù)列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為Qn,試比較Qn與$\frac{{S}_{n}}{2}$的大小關(guān)系.

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15.已知函數(shù)f(x)=|logax|(a>0且a≠1),給出下列說(shuō)法:
①存在a的值,使得函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
②當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)在定義域上為增函數(shù);
③當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)在[$\frac{1}{2}$,4]的值域?yàn)閇1,2];
④當(dāng)f(x1)=f(x2)且x1≠x2時(shí),x1•x2=1;
⑤若f(x1)>f(x2)>f(x3)且x1<x2<x3,則0<x1<1;
以上說(shuō)法中正確的④⑤.

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12.已知函數(shù)f(x)=3x2-5x+2,求f(3),f(-$\sqrt{2}$),f(a),f(a+1).

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19.已知函數(shù)f(x)=ex+alnx的定義域是D,關(guān)于函數(shù)f(x)給出下列命題:
①對(duì)于任意a∈(0,+∞),函數(shù)f(x)是D上的增函數(shù)
②對(duì)于任意a∈(-∞,0),函數(shù)f(x)存在最小值
③存在a∈(0,+∞),使得對(duì)于任意的x∈D,都有f(x)>0成立
④存在a∈(-∞,0),使得函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
其中正確命題的序號(hào)是①②④.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

9.下列四個(gè)命題中,
①?x∈R,2x-1>0
②?x∈N*,(x-1)2>0
③?x0∈Z,y0∈Z,使3x0-2y0=10
④?a0∈R,β0∈R,使sin(α00)=sinα0+sinβ0
真命題的個(gè)數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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16.對(duì)一個(gè)非零自然數(shù)作如下操作:如果是偶數(shù)則除以2;如果是奇數(shù)則加1.如此進(jìn)行直到變?yōu)?為止.那么經(jīng)過(guò)三次操作能變?yōu)?的數(shù)為2,3,8;經(jīng)過(guò)11次操作能變?yōu)?的非零自然數(shù)的個(gè)數(shù)為3,8,89.

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13.y=$\sqrt{1-x}+{log_2}$(x+1)的定義域是( 。
A.[-1,1]B.[-1.1)C.(-1,1)D.(-1,1]

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