分析 三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,可解得B=60°,A-C=2(A-B),在BC上取BD等于c,設(shè)∠CAD=θ,則,A-C=2(A-B)=2θ,∠CDA=120°,由cos(A-C)=cos2θ=$\frac{7}{8}$,解得sinθ,由正弦定理可得b,由余弦定理可得ac=b2-16,根據(jù)${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$,即可得解.
解答 解:∵銳角三角形的內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,
則有2B=A+C.又A+B+C=180°,
∴B=60°,
∴A-C=2(A-B),
如圖,在BC上取BD等于c,設(shè)∠CAD=θ,AC邊上的高BD=h,
則,A-C=2(A-B)=2θ,∠CDA=120°,
∴cos(A-C)=cos2θ=$\frac{7}{8}$,解得:cosθ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,sin$θ=\frac{1}{4}$,
∴△ADC中,由正弦定理可得:$\frac{sin∠ADC}=\frac{a-c}{sinθ}$,即b=$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}$=8$\sqrt{3}$.
∵由余弦定理可得:cosB=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$,又a-c=4,
∴ac=b2-16.
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bh$,可得:h=$\frac{acsinB}$=$\frac{^{2}-16}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{192-16}{8\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=11.
故答案為:11.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基本知識(shí)的考查.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | [-1,1] | B. | [-1.1) | C. | (-1,1) | D. | (-1,1] |
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