Question

15．如圖，在圓錐PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，圓O的直徑AB=2，C是弧AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線PD和BC所成的角
（2）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得OD∥BC，從而異面直線PD和BC所成的角為∠PDO，由此能求出異面直線PD和BC所成的角．
（2）在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，由已知得∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角．由此能求出直線OC和平面PAC所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵O，D分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴OD∥BC，
∴異面直線PD和BC所成的角為∠PDO，
在△ABC中，AB=2，C是AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，
∴$AC=BC=\sqrt{2}\;，OD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵$PO=\sqrt{2}$，PO⊥面ABC，
∴$tan∠PDO=\frac{PO}{OD}=2$，
∴異面直線PD和BC所成的角為arctan2．
（2）∵OA=OC，D是AC的中點(diǎn)，∴AC⊥OD，
又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，∴AC⊥PO，
∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD，
又AC?平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC，
在平面POD中，過O作OH⊥PD于H，
則OH⊥平面PAC，連結(jié)CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，
∴∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角．
在Rt△POD中，OH=$\frac{PO•OD}{\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△OHC中，sin∠OCH=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線OC和平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查線面解的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．