Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，已知角C=

π

3

，a+b=λc（其中λ＞1）．
（1）當(dāng)λ=2時(shí)，試判斷△ABC的形狀；
（2）當(dāng)λ=

3

2

時(shí)，若

AC

•

BC

=5，求邊長c．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由角C=

π

3

，利用余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，當(dāng)λ=2時(shí)，a+b=2c，消去c可得a=b，即可得出△ABC為等邊三角形．
（2）由

AC

•

BC

=5，可得ab=5．由（1）可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，當(dāng)λ=

3

2

時(shí)，a+b=

3

2

c，聯(lián)立即可解得．

解答： 解：（1）∵角C=

π

3

，∴c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
當(dāng)λ=2時(shí)，a+b=2c，
∴（a+b）²=4a²+4b²-4ab，化為a²+b²-2ab=0，解得a=b，
∴△ABC為等邊三角形．
（2）∵

AC

•

BC

=5，∴ab=5．
由（1）可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
當(dāng)λ=

3

2

時(shí)，a+b=

3

2

c，
聯(lián)立解得c=2

6

．

點(diǎn)評：本題考查了向量的數(shù)量積定義、余弦定理、等邊三角形的判定，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．