Question

設(shè)集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，集合B={x|（x-a²-2）（x-a）＜0}．
（Ⅰ） 對于集合{x|a＜x＜b}，定義此集合的長度為b-a，若集合B的長度為4，求a的值．
（Ⅱ）命題p：實數(shù)x滿足x∈A；命題q：實數(shù)x滿足x∈B；若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：（Ⅰ） 求出集合B，利用集合B的長度為4，即可求a的值．
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分條件，即q是p的必要不充分條件，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ） 方程（x-a²-2）（x-a）=0的兩個根為|x=a²+2或x=a，
∵a²+2-a=（a-

1

2

）²+

7

4

＞0，
∴a²+2＞a，即集合B={x|a＜x＜a²+2}，
若集合B的長度為4，則a²+2-a=4，
即a²-a-2=0，解得a=2或a=-1．
（Ⅱ）若￢p是￢q的必要不充分條件，即q是p的必要不充分條件，
由（Ⅰ）得B={x|a＜x＜a²+2}，
方程（x-2）（x-3a-1）=0的根為x=2或x=3a+1，
若3a+1＞2，即a＞

1

3

，此時A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}={x|2＜x＜3a+1}，
此時滿足

a≤2 a2+a≥3a+1

，即

a≤2 a2-2a-1≥0

a≤2 a≥1+ 2 或a≤1- 2

，此時無解．
若3a+1≤2，即a≤

1

3

，此時A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}={x|3a+1＜x＜2}，
此時滿足

a2+2≥2 a≤3a+1

．即a≥-

1

2

，即-

1

2

≤a≤

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用以及集合的基本運(yùn)算，利用不等式求出對應(yīng)集合的元素是解決本題的關(guān)鍵．