Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC= AB= ，平面PBC⊥平面ABCD．

（1）求證：AC⊥PB；
（2）若PB=PC= ，問在側(cè)棱PB上是否存在一點M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點E，連結(jié)CE，

∵AB∥CD，DC= AB，∴DC AE，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

又∵∠ADC=90°，∴四邊形AECD是正方形，∴CE⊥AB，

∴△CAB是等腰三角開有，且CA=CB=2，AB=2 ，

∴AC2+CB2=AB2，∴AC⊥CB，

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴AC⊥平面PBC，

又PB平面PBC，∴AC⊥PB

（2）解：設(shè)BC的中點為F，連結(jié)PF，

∵PB=PC，∴PF=BC，

∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AC，

連結(jié)EF，則EF∥AC，∴PF⊥FE，EF⊥BC，

分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

∵AD=PB=PC= ，則F（0，0，0），A（2，﹣1，0），

B（0，1，0），D（1，﹣2，0），P（0，0，1），

∴ =（0，1，﹣1）， =（﹣1，﹣1，0）， =（0，0，1），

若在線段PB上存在一點M，設(shè) = ，（0≤λ＜1），

∵ ，∴ =λ（0，1，﹣1）+（0，0，1）=（0，λ，1﹣λ），

∴M（0，λ，1﹣λ）， ，

設(shè)平面MAD的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1， ），

平面ABCD的法向量 =（0，0，1），

∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，

解得 或λ=2（舍）．

∴存在點M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ，且 = ．

【解析】（1）取AB的中點E，連結(jié)CE，推導(dǎo)出四邊形AECD是正方形，從而CE⊥AB，再求出AC⊥CB，由此能證明AC⊥PB．（2）設(shè)BC的中點為F，連結(jié)PF，分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．