Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinωxcosωx+cosωxcosωx，若f（x）的最小正周期為

π

2

，則f（x-

π

12

）=1在區(qū)間[0，5π]的解的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：應(yīng)用二倍角正弦、余弦公式以及兩角和的正弦公式化簡f（x），根據(jù)f（x）的最小正周期，求出ω，再解三角方程，找出在區(qū)間[0，5π]的解的個(gè)數(shù)即可．

解答： 解：f（x）=

3

sinωxcosωx+cosωxcosωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

+（sin2ωxcos

π

6

+cos2ωxsin

π

6

）
=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），
∵f（x）的最小正周期為

π

2

，
∴

2π

2|ω|

=

π

2

即ω=±2，
又f（x-

π

12

）=1，
當(dāng)ω=2時(shí)，

1

2

+sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]=1，
4x=2kπ+

π

3

或2kπ+π，k∈Z，
則k=0，1，2，3，…，9共20個(gè)滿足解在區(qū)間[0，5π]上，
當(dāng)ω=-2時(shí)，

1

2

+sin[-4（x-

π

12

）+

π

6

]=1，
4x=2kπ+

π

3

或2kπ-

π

3

，k∈Z，
則k=0，1，2，…，9或1，2，3，…，10共20個(gè)滿足解在區(qū)間[0，5π]上．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性和簡單三角方程的解法，同時(shí)考查三角恒等變換及應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．