Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形沿對角線AC折起，使得平面ABC⊥平面ADC，得到三棱錐B-ACD，M是棱BC上的一點．

（Ⅰ）若OM⊥BC，求證：BC⊥平面OMD；
（Ⅱ）若OM∥平面ABD，求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用OM⊥BC，通過證明OD⊥BC，利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面OMD；
（Ⅱ）若OM∥平面ABD，說明OD為三棱錐D-ABM的高，求出△ABM的面積，即可求三棱錐M-ABD的體積．

解答： 解：（Ⅰ）證明∵平面ABC⊥平面ADC
又∵在菱形中，OD⊥AC
而平面ABC∩平面ADC=AC∴OD⊥平面ABC----------------（3分）
又∵BC?平面ABC∴OD⊥BC．
又∵OM⊥BC，OM∩OD=0．
∴BC⊥平面OMD---------------（6分）
（Ⅱ）∵OM∥平面ABD
又∵OM?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB∴OM∥AB
又∵O為AC中點∴M為AC中點---------（9分）
由（Ⅰ）可知OD⊥面ABC
即OD為三棱錐D-ABM的高----------（10分）
在△ABM中，AB=6，∠ABC=120°，BM=3，
∴S△ABM=

1

2

×3×6×sin120°=

9

2

3

．
VM-ABD=VD-ABM=

1

3

S△ABM×OD=

1

3

×

9

2

3

×3=

9

2

3

-----------（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理的與，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．