Question

已知{a_n}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且a₂+a₅=18，a₃•a₄=32，{b_n}是首項(xiàng)為2，公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)且僅當(dāng)2≤n≤4，n∈N^*，S_n≥4+d•log₂a_n²成立，求d的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）{a_n}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，說明q＞1，又根據(jù)a₃•a₄=a₂•a₅=32，a₂+a₅=18，列出關(guān)于a₂，a₅的方程組，解出a₂，a₅，最后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，求出{a_n}
（2）由題意{b_n}是首項(xiàng)為2，公差為d的等差數(shù)列，寫出S_n的表達(dá)式，代入Sn≥4+d•log2

a

2 n

，整理得d•n²+（4-5d）•n-8+4d≥0，按照當(dāng)且僅當(dāng)2≤n≤4，n∈N^*，列出不等式組，求出d的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，所以a₃•a₄=a₂•a₅=32
所以

a2+a5=18 a2•a5=32

所以a₂，a₅為方程 x²-18x+32=0的兩根；
又因?yàn)閧a_n}為遞增的等比數(shù)列，所以 a2=2，a5=16，q3=8，
從而q=2，
所以an=a2•qn-2=2•2n-2=2n-1；
（2）由題意可知：b_n=2+（n-1）d，Sn=2n+

(n-1)•n

2

d，
由已知可得：2n+

(n-1)•n

2

d≥4+(2n-2)d，
所以d•n²+（4-5d）•n-8+4d≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)2≤n≤4，且n∈N^*時(shí)，上式成立，
設(shè)f（n）=d•n²+（4-5d）•n-8+4d，則d＜0，
所以

f(1)＜0 f(2)≥0 f(4)≥0 f(5)＜0

⇒

d≤0 d＜-3

⇒d＜-3，
所以d的取值范圍為（-∞，-3）．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，整系數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．