Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦點F₁（-c，0）作傾斜角為30°的直線L交雙曲線右支于點P，線段PF₁的中點在y軸上，雙曲線右焦點F₂（c，0）到雙曲線的漸近線的距離是2．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；   
（Ⅱ）設(shè)以F₁F₂為直徑的圓與直線L交于點Q，過右焦點F₂和點Q的直線L′與雙曲線交于A、B兩點，求弦|AB|的長度．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出4（

a

b

）?+4（

a

b

）²=3，由此能求出雙曲線方程．
（Ⅱ）直線L的方程：y=

3

3

(x+

6

)=

3

3

x+

2

，以F₁F₂為直徑的圓的方程為：x²+y²=6，聯(lián)立

x2+y2=6 y= 3 3 x+ 2

，得Q（-

6

，0）或Q（

6

2

，

3 2

2

），由此能求出弦|AB|的長度．

解答： 解：（Ⅰ）F₁（-c，0），設(shè)P（x，y）
∵M在y軸上，∴

x-c

2

=0，解得x=c，
將P（c，y）代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，得y²=

b4

a2

，
連接P，F(xiàn)₂，△F₁PF₂為直角三角形，tan30°=

|PF2|

|F1F2|

=

3

3

，
∴

b2 a

2c

=

3

3

，∴

b4

a2

=

4c2

3

=

4(a2+b2)

3

，
∴3b?=4a?+4a²b²，∴4（

a

b

）?+4（

a

b

）²=3，
解得（

a

b

）²=

1

2

，或（

a

b

）²=-

3

2

．（舍）．
∴a=

2

2

b，c=

b2+ 1 2 b2

=

6

2

b，
雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0，
∵右焦點F₂（c，0）到雙曲線的漸近線的距離是2，
∴

| 6 2 b2|

c

=2，∴

6

2

b2=2c=

6

b，解得b=2，
∴a=

2

，c=

6

，b=2，
∴雙曲線方程為

x2

2

-

y2

4

=1．
（Ⅱ）雙曲線

x2

2

-

y2

4

=1的左焦點F₁（-

6

，0），右焦點F₂（

6

，0），
∴直線L的方程：y=

3

3

(x+

6

)=

3

3

x+

2

，
∵以F₁F₂為直徑的圓的方程為：x²+y²=6，
∴聯(lián)立

x2+y2=6 y= 3 3 x+ 2

，得Q（-

6

，0）或Q（

6

2

，

3 2

2

），
當Q（-

6

，0），F(xiàn)₂（

6

，0）時，
過右焦點F₂和點Q的直線L′是直線F₁F₂，
它雙曲線交于A、B兩點，弦|AB|=2a=4；
當Q（

6

2

，

3 2

2

），F(xiàn)₂（

6

，0）時，
過右焦點F₂和點Q的直線L′的方程：

y

x- 6

=

3 2 2

6 2 - 6

，
整理，得y=-

3

x+3

2

，
把y=-

3

x+3

2

代入雙曲線

x2

2

-

y2

4

=1，
整理，得：x2-6

6

x+22=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=6

6

，x₁x₂=22，
∴|AB|=

(1+3)[(6 6 )2-4×22]

=16

2

．
綜上所述，弦|AB|的長度為4或16

2

．

點評：本題考查雙曲線索方程的求法，考查弦長的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意直線方程的靈活運用．