Question

1．在集合{1，2，…，50}的子集S中，任意兩個元素的平方和不是7的倍數(shù)，求|S|的最大值．

Answer 1

分析 此題表面是對子集的考察，但更是對數(shù)技能的考察，我們需要對數(shù)的平方計算，再除以7求余數(shù)，觀察規(guī)律，進而探索思路，得出結(jié)果．考慮1-7的平方對7取余數(shù)，依次為1，4，2，2，4，1，0，其后每7個數(shù)的平方對7取余數(shù)均為這列數(shù)；由此可以看出兩個元素平方和是7的倍數(shù)只能要求兩個數(shù)的平方本身是7的倍數(shù)；所以|S|要取最大值只需要去掉S中7的倍數(shù)就可以了，當然也可以有一個7的倍數(shù)．

解答 解：因為 0²=0，1²=1，2²=4，3²=9≡2，4²=16≡2，5²=25≡4，6²=36≡1，
所以，任意一個整數(shù)的平方被7除的余數(shù)只可能是 0、1、2、4．
由于 1+1=2，1+2=3，2+2=4，1+4=5，2+4=6，4+4=8≡1，均不是7的倍數(shù)，
且0+1=1，0+2=2，0+4=4 也不是7的倍數(shù)，
因此，只要取的數(shù)都不是7的倍數(shù)，再加上一個7（或其它7的倍數(shù)），就滿足要求．
也就是，|S|的最大值為 50-[$\frac{50}{7}$]+1=44．

點評 此題是探索性題型，需要我們先試探性的尋找規(guī)律，再去思考求解．鍛煉我們的分析問題能力．