Question

9．已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意f（x）∈M，①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（x₀）成立．試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（Ⅱ）對(duì)任意f（x）∈M，且x∈（a，b），求證：對(duì)于f（x）定義域中任意的x₁，x₂，x₃，當(dāng)|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時(shí)，|f（x₃）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β（α≠β），不妨設(shè)α＜β，得到f'（c）=1，與已知0＜f'（x）＜1矛盾，假設(shè)不成立；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）-x為減函數(shù)，得到|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|，判斷出-1＜x₁-x₂＜1，|x₃-x₁|＜1和-1＜x₃-x₁＜1，相加即可．

解答 （Ⅰ）證明：假設(shè)方程f（x）-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β（α≠β），
則f（α）-α=0，f（β）-β=0．…（2分）
不妨設(shè)α＜β，根據(jù)題意存在c∈（α，β），
滿足f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）．
因?yàn)閒（α）=α，f（β）=β，且α≠β，所以f'（c）=1．…（5分）
與已知0＜f'（x）＜1矛盾．又f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根，
所以方程f（x）-x=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．…（6分）
（Ⅱ）解：當(dāng)x₂=x₃時(shí)，結(jié)論顯然成立；…（7分）
當(dāng)x₂≠x₃，不妨設(shè)a＜x₂＜x₃＜b．
因?yàn)閤∈（a，b），且f'（x）＞0，所以f（x）為增函數(shù)，那么f（x₂）＜f（x₃）．
又因?yàn)閒'（x）-1＜0，所以函數(shù)f（x）-x為減函數(shù)，…（9分）
所以f（x₂）-x₂＞f（x₃）-x₃．
所以0＜f（x₃）-f（x₂）＜x₃-x₂，即|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|．…（10分）
因?yàn)閨x₂-x₁|＜1，所以-1＜x₁-x₂＜1，（1）
又因?yàn)閨x₃-x₁|＜1，所以-1＜x₃-x₁＜1，（2）
（1）+（2）得-2＜x₂-x₃＜2即|x₃-x₂|＜2．…（12分）
所以|f（x₃）-f（x₂）|＜|x₃-x₂|＜2．…（13分）
綜上，對(duì)于任意符合條件的x₁，x₂，x₃總有|f（x₃）-f（x₂）|＜2成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義問題，考查反證法的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性問題，考查絕對(duì)值的應(yīng)用，是一道中檔題．