Question

【題目】為解決城市的擁堵問題，某城市準(zhǔn)備對(duì)現(xiàn)有的一條穿城公路MON進(jìn)行分流，已知穿城公路MON自西向東到達(dá)城市中心點(diǎn)O后轉(zhuǎn)向東北方向（即）．現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出入口B．假設(shè)高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心O與AB的距離為10km．

（1）求兩站點(diǎn)A，B之間距離的最小值；

（2）公路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C，為保護(hù)古建筑群，設(shè)立一個(gè)以C為圓心，5km為半徑的圓形保護(hù)區(qū)．則如何在古建筑群C和市中心O之間設(shè)計(jì)出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）？

Answer 1

【答案】（1）；（2）設(shè)計(jì)出入口A離市中心O的距離在到20km之間時(shí)，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）．

【解析】

（1）過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，則，設(shè)，則，，則有，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求出分母的最大值即可

（2）以O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AB的方程為，可得和，解得或（舍），可得，又當(dāng)時(shí)，，從而可得.

（1）過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，則，

設(shè)，則，

所以，

所以；

因?yàn)?/span>；

所以當(dāng)時(shí)，AB取得最小值為；

（2）以O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

則圓C的方程為，

設(shè)直線AB的方程為；

∴，∴，

解得或（舍），∴，

又當(dāng)時(shí)，，

所以；

綜上知，當(dāng)時(shí)，即設(shè)計(jì)出入口A離市中心O的距離在到20km之間時(shí)，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）．