Question

如圖，拋物線M：y=x²+bx（b≠0）與x軸交于O，A兩點，交直線l：y=x于O，B兩點，經過三點O，A，B作圓C．
（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；
（II）求證：圓C經過除原點外的一個定點；
（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？

Answer 1

解：（I）在方程y=x²+bx中．
令y=0，y=x，易得A（﹣b，0），B（1﹣b，1﹣b）
設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，則
，
故經過三點O，A，B的圓C的方程為
x²+y²+bx+（b﹣2）y=0，
設圓C的圓心坐標為（x₀，y₀），則
x₀=﹣，y₀=﹣，
∴y₀=x₀+1，這說明當b變化時，
（I）中的圓C的圓心在定直線y=x+1上．
（II）設圓C過定點（m，n），則m²+n²+bm+（b﹣2）n=0，整理得
（m+n）b+m²+n²﹣2n=0，它對任意b≠0恒成立，
∴或
故當b變化時，（I）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標為（﹣1，1）．
（III）拋物線M的頂點坐標為（﹣，﹣），
若存在這樣的拋物線M，使它的頂點與它對應的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，則
|﹣|≤，
整理得（b²﹣2b）²≤0，
因b≠0，∴b=2，
以上過程均可逆，
故存在拋物線M：y=x²+2x，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑．