Question

如圖，拋物線M：y=x²+bx（b≠0）與x軸交于O，A兩點(diǎn)，交直線l：y=x于O，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O，A，B作圓C．
（I）求證：當(dāng)b變化時(shí)，圓C的圓心在一條定直線上；
（II）求證：圓C經(jīng)過(guò)除原點(diǎn)外的一個(gè)定點(diǎn)；
（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點(diǎn)與C的距離不大于圓C的半徑？

Answer 1

分析：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A，B的坐標(biāo)表示，設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，利用條件得出

D=b E=b-2

，寫(xiě)出圓C的圓心坐標(biāo)的關(guān)系式，從而說(shuō)明當(dāng)b變化時(shí)，圓C的圓心在定直線y=x+1上．
（II）設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)（m，n），則m²+n²+bm+（b-2）n=0，它對(duì)任意b≠0恒成立，從而求出m，n的值，從而得出當(dāng)b變化時(shí)，（I）中的圓C經(jīng)過(guò)除原點(diǎn)外的一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)；
（III）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的拋物線M，使它的頂點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，再利用不等關(guān)系，求出b，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）在方程y=x²+bx中．令y=0，y=x，易得A（-b，0），B（1-b，1-b）
設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，
則

b2-bD=0 (1-b) 2+(1-b) 2+(1-b)D+(1-b)E=0

⇒

D=b E=b-2

，
故經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O，A，B的圓C的方程為x²+y²+bx+（b-2）y=0，
設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則x₀=-

b

2

，y₀=-

b-2

2

，∴y₀=x₀+1，
這說(shuō)明當(dāng)b變化時(shí)，（I）中的圓C的圓心在定直線y=x+1上．
（II）設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)（m，n），則m²+n²+bm+（b-2）n=0，整理得（m+n）b+m²+n²-2n=0，
它對(duì)任意b≠0恒成立，∴

m+n=0 m2+n 2-2n=0

⇒

m=-1 n=1

或

m=0 n=0

故當(dāng)b變化時(shí)，（I）中的圓C經(jīng)過(guò)除原點(diǎn)外的一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）．
（III）拋物線M的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2

，-

b 2

4

），若存在這樣的拋物線M，使它的頂點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，
則|-

b-2

2

+

b 2

4

|≤

b 2 4 + (b-2) 2 4

，
整理得（b²-2b）²≤0，因b≠0，∴b=2，
以上過(guò)程均可逆，故存在拋物線M：y=x²+2x，使它的頂點(diǎn)與C的距離不大于圓C的半徑．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，圓的一般方程，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．