Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)，PD⊥底面ABCD，且直線PA與直線BC所成的角為45°．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ）在線段PB上是否存在點(diǎn)Q，使得FQ⊥面PBC？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點(diǎn)，
所以，
所以，BEDF為平行四邊形，得ED∥FB，
又因?yàn)镕B?平面PFB，
且ED?平面PFB，
所以DE∥平面PFB．
（Ⅱ）因?yàn)锽C∥AD，所以∠PAD為直線PA與BC所成的角，
所以∠PAD=45°，
所以AD=PD=2．
因?yàn)镻D是四棱錐P-ABCD的高，
所以，所求體積為．
（Ⅲ）當(dāng)Q是PB中點(diǎn)時(shí)，有QF⊥面PBC．
取PC中點(diǎn)K，連DK，F(xiàn)K，則DK⊥面PBC．
∴FK∥AD，F(xiàn)K=AD，
∴QF∥DK，
∴QF⊥面PBC．
分析：（Ⅰ）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點(diǎn)，所以，所以，BEDF為平行四邊形，得ED∥FB，由此能夠證明DE∥平面PFB．
（Ⅱ）因?yàn)锽C∥AD，所以∠PAD為直線PA與BC所成的角，所以∠PAD=45°，所以AD=PD=2．由此能夠求出四棱錐P-ABCD的體積．
（Ⅲ）當(dāng)Q是PB中點(diǎn)時(shí)，有QF⊥面PBC．取PC中點(diǎn)K，連DK，F(xiàn)K，則DK⊥面PBC．FK∥AD，F(xiàn)K=AD，由此能夠證明QF⊥面PBC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查DE∥平面PFB的證明，求四棱錐P-ABCD的體積，探索在線段PB上是否存在點(diǎn)Q，使得FQ⊥面PBC．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．