Question

【題目】已知函數(shù)(，為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若，求函數(shù)的極值；

(2)若是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，試求出關(guān)于的關(guān)系式(用表示)，并確定的單調(diào)區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，設(shè)，函數(shù)．若存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

【解析】

解：（1）∵……1分

當(dāng)時(shí)， 則 ---2分

令得，∵∴，解得---3分

∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

（或列表）……4分

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，.----------5分

（2）由（1）知∵是函數(shù)的一個極值點(diǎn) ∴即，解得------6分

則＝ K^S*5U.C#O%下標(biāo)

令，得或

∵是極值點(diǎn)，∴，即--------------------------7分

當(dāng)即時(shí)，由得或

由得-----------8分

當(dāng)即時(shí)，由得或

由得--------9分

綜上可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為----10分

（3）由（2）知，當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增，K^S*5U.C#O%下標(biāo)

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為又∵ ，，∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即-------11分又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是----12分∵－＝＝，∴存在使得成立只須僅須

－<1 .--14分