Question

10．已知拋物線C的方程是y=2x²．
（1）設(shè)P是拋物線C上一點(diǎn)，Q（0，n）是定點(diǎn)，求PQ的最小值；
（2）若拋物線C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=2x+m對(duì)稱，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（a，2a²），則|PQ|=$\sqrt{（a-0）^{2}+（2{a}^{2}-n）^{2}}$，由a²=t（t≥0），對(duì)稱軸t=$\frac{4n-1}{8}$，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最小值；
（2）設(shè)出兩點(diǎn)B、C坐標(biāo)，得到直線BC方程y=-$\frac{1}{2}$x+t，把直線BC方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達(dá)定理求出BC中點(diǎn)，應(yīng)用中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且判別式大于0，可求出m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（a，2a²），則|PQ|=$\sqrt{（a-0）^{2}+（2{a}^{2}-n）^{2}}$
=$\sqrt{4{a}^{4}-（4{n-1）a}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{4（{a}^{2}-\frac{4n-1}{8}）^{2}+{n}^{2}-\frac{（4n-1）^{2}}{16}}$，
當(dāng)n≤0時(shí)，由a²=t（t≥0），由對(duì)稱軸t=$\frac{4n-1}{8}$＜0，即有t=0取得最小值-n；
當(dāng)n＞0時(shí)，由a²=t（t≥0），由對(duì)稱軸t=$\frac{4n-1}{8}$≤0，即n≤$\frac{1}{4}$時(shí)，
即有t=0取得最小值n；
當(dāng)n＞0時(shí)，由a²=t（t≥0），由對(duì)稱軸t=$\frac{4n-1}{8}$＞0，即n＞$\frac{1}{4}$時(shí)，
即有t=$\frac{4n-1}{8}$取得最小值$\sqrt{{n}^{2}-\frac{（4n-1）^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{8n-1}}{4}$；
（2）設(shè)兩點(diǎn)B、C關(guān)于直線y=2x+m對(duì)稱，
故可設(shè)直線BC方程為y=-$\frac{1}{2}$x+t，代入y=2x²，
得2x²+$\frac{1}{2}$x-t=0．
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
BC中點(diǎn)M（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{8}$，y₀=$\frac{1}{16}$+t．
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線y=2x+m上，
∴$\frac{1}{16}$+t=2•（-$\frac{1}{8}$）+m，
∴m=$\frac{5}{16}$+t．
又∵BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，
∴△=$\frac{1}{4}$+8t＞0．解得t＞-$\frac{1}{32}$，
即有m＞$\frac{9}{32}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用及二次函數(shù)的最值的求法，考查點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題，兩條直線垂直的性質(zhì)，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．