Question

8．已知x∈[$\frac{1}{2}$，8]，求函數(shù)f（x）=（log₂$\frac{x}{4}$）•（log₂$\frac{2}{x}$）的值域．

Answer 1

分析 根據(jù)x的范圍可以求出log₂x的范圍為[-1，3]，進(jìn)行對數(shù)的運(yùn)算得到f（x）=（log₂x-2）（1-log₂x），可設(shè)$lo{g}_{2}\frac{x}{2}=t$，t∈[-2，2]，y=f（x），從而可以得出二次函數(shù)y=-t²+3t-2，進(jìn)行配方即可得出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：$x∈[\frac{1}{2}，8]$，∴l(xiāng)og₂x∈[-1，3]；
f（x）=（log₂x-log₂4）（log₂2-log₂x）=（log₂x-2）（1-log₂x），設(shè)y=f（x），log₂x=t，t∈[-1，3]；
∴y=（t-2）（1-t）=-t²+3t-2=$-（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$；
∵t∈[-1，3]；
∴$t=\frac{3}{2}$時，y取最大值$\frac{1}{4}$，t=-1時，y取最小值-6；
∴該函數(shù)的值域?yàn)?[-6，\frac{1}{4}]$．

點(diǎn)評 考查函數(shù)值域的概念，不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的運(yùn)算，以及換元求函數(shù)值域的方法，配方求二次函數(shù)值域的方法．