Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）證明：①當(dāng)時，；

②當(dāng)時，.

（2）是否存在最大的整數(shù)，使得函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)①直接作差，構(gòu)建新函數(shù)研究最值即可；②同樣作差構(gòu)建函數(shù)，研究最值即可；

(2)由題意可得，變量分離研究最值即可.

①令，

當(dāng)時，，故在區(qū)間上為減函數(shù)，

當(dāng)時，，故在區(qū)間上為增函數(shù)，

因此，故.

②令，

，因此為增函數(shù)

當(dāng)時，，故.

（2）據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，又，

，

因此對一切有.

令，

則，，

故為增函數(shù)，

又，，

因此在區(qū)間上有唯一的零點，記它為，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，因此，其中

由（1）可知恒成立，且當(dāng)時，成立

故

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

因此.

又

因此，即存在最大的整數(shù)28，使得在其定義域上是增函數(shù).