Question

如圖1所示的圖板中，O是F₁F₂的中點(diǎn)，且|F₁F₂|=2．將一條長為4的細(xì)繩兩端分別固定在F₁，F(xiàn)₂處．套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，可畫出一個如圖2所示的橢圓軌跡г．

（Ⅰ）試求出圖2中橢圓г的一個標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P為橢圓Γ上滿足PF₂⊥F₁F₂的點(diǎn)，那么是否存在與橢圓Γ交于兩點(diǎn)A、B的直線l，使得四邊形OPAB為平行四邊形？若存在，請基于（Ⅰ）的解答求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）以線段F₁F₂所在直線為x軸，線段F₁F₂的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由此利用已知條件能求出橢圓Γ的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足題意的直線l，則這樣的直線l必須同時滿足下列條件：①直線l與橢圓相交；②直線l∥OP；③|AB|=|OP|．由此能求出存在方程為y=

3

2

x±3的直線l能夠滿足題設(shè)要求．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，以線段F₁F₂所在直線為x軸，線段F₁F₂的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
依題意得2a=4，即a=2，
又|F₁F₂|=2，∴c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓Γ的一個標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）∵P為橢圓Γ上滿足PF₁⊥F₁F₂的點(diǎn)，∴P（1，

3

2

），kCP=

3

2

，
假設(shè)存在滿足題意的直線l，則這樣的直線l必須同時滿足下列條件：
①直線l與橢圓相交；②直線l∥OP；③|AB|=|OP|，
由②知直線l的斜率k=k_CP=

3

2

，
∴設(shè)直線l的方程為y=

3

2

x+m，
將y=

3

2

x+m代入橢圓Γ的方程，得x2+mx+

m2

3

-1=0．
由①知△=4-

m2

3

＞0，得-2

3

＜m＜2

3

，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系得：
x1+x2=-m，x1x2=

m2

3

-1，
由③得|AB|=|OP|=

13

2

，
∴|AB|=

1+( 3 2 )2

(x1+x2)2-4x1x2

=

13

2

m2-4( m2 3 -1)

=

13

2

，
化簡，得：m2-4(

m2

3

-1)=1，m²=9，∴m=±3，
m=±3滿足△＞0，
∴存在方程為y=

3

2

x±3的直線l能夠滿足題設(shè)要求．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．