Question

7．在銳角△ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，已知a=$\sqrt{7}$，b=3，$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ） 求角A 的大��；
（Ⅱ） 求△ABC 的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）銳角△ABC 中，由條件利用正弦定理求得 $\sqrt{7}$sinB=3sinA，再根據(jù)$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$，求得sinA的值，可得角A 的值．
（Ⅱ） 銳角△ABC 中，由條件利用余弦定理求得c的值，再根據(jù)△ABC的面積為$\frac{1}{2}$bc•sinA，計算求得結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）銳角△ABC 中，由條件利用正弦定理可得$\frac{\sqrt{7}}{sinA}$=$\frac{3}{sinB}$，∴$\sqrt{7}$sinB=3sinA，
再根據(jù)$\sqrt{7}$sinB+sinA=2$\sqrt{3}$，求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴角A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ） 銳角△ABC 中，由條件利用余弦定理可得a²=7=c²+9-6c•cos$\frac{π}{3}$，解得c=1 或c=2．
當(dāng)c=1時，cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$＜0，故B為鈍角，這與已知△ABC為銳角三角形相矛盾，故不滿足條件．
當(dāng)c=2時，△ABC 的面積為$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$•3•2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．