Question

12．以下命題，錯誤的是①②③（寫出全部錯誤命題）
①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1沒有極值點，則-2＜a＜4
②f（x）=$\frac{mx+1}{x+3}$在區(qū)間（-3，+∞）上單調，則m≥$\frac{1}{3}$
③若函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有兩個零點，則m＜$\frac{1}{e}$
④已知f（x）=log_ax（0＜a＜1），k，m，n∈R⁺且不全等，$則f（\frac{k+m}{2}）+f（\frac{m+n}{2}）+f（\frac{k+n}{2}）＜f（k）+f（m）+f（n）$．

Answer 1

分析 ①若f（x）沒有極值點，則f′（x）=3x²+2（a-1）x+3≥0恒成立，可得△≤0，解出即可判斷出正誤；
②f（x）在區(qū)間（-3，+∞）上單調，f′（x）=$\frac{3m-1}{（x+3）^{2}}$≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=$\frac{1}{3}$時舍去，解出即可判斷出正誤；
③f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，利用單調性可得：當x=e時，函數f（x）取得最大值，f（e）=$\frac{1}{e}-m$．且x→0，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→-m．若函數f（x）有兩個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得即可判斷出正誤；
④由于f（x）=log_ax（0＜a＜1），可得函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．k，m，n∈R⁺且不全等，kd $\frac{k+m}{2}≥m$，$\frac{k+n}{2}≥k$，$\frac{m+n}{2}≥n$，等號不全相等，即可判斷出正誤．

解答 解：①若f（x）=x³+（a-1）x²+3x+1沒有極值點，則f′（x）=3x²+2（a-1）x+3≥0恒成立，∴△=4（a-1）²-36≤0，解得-2≤a≤4，因此①不正確；
②f（x）=$\frac{mx+1}{x+3}$在區(qū)間（-3，+∞）上單調，f′（x）=$\frac{3m-1}{（x+3）^{2}}$≥0或f′（x）≤0恒成立，且m=$\frac{1}{3}$時舍去，因此m∈R且m≠$\frac{1}{3}$，因此②不正確；
③f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減，∴當x=e時，函數f（x）取得最大值，f（e）=$\frac{1}{e}-m$．且x→0，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→-m．若函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m有兩個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}-m＞0}\\{-m＜0}\end{array}\right.$，解得$0＜m＜\frac{1}{e}$，因此③不正確．
④∵f（x）=log_ax（0＜a＜1），∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．∵k，m，n∈R⁺且不全等，則$\frac{k+m}{2}≥m$，$\frac{k+n}{2}≥k$，$\frac{m+n}{2}≥n$，等號不全相等，
$則f（\frac{k+m}{2}）+f（\frac{m+n}{2}）+f（\frac{k+n}{2}）＜f（k）+f（m）+f（n）$，因此正確．
綜上可得：錯誤的是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、對數函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．