Question

一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和4個(gè)黑球，要從中摸出兩個(gè)球．
（Ⅰ）采取放回抽取方式，求摸出兩球顏色恰好不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽取方式，記摸得白球的個(gè)數(shù)為ξ，試求ξ的分布列，并求它的期望和方差．（方差Dξ=

n

i=1

pi•(ξi-Eξ)2）

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：利用古典概型概率公式求解；解法二：“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，利用公式，可得結(jié)論；
（II）確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求得它的期望和方差．

解答：（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件A，…（2分）
∵“兩球恰好顏色不同”共2×4+4×2=16種可能，…（4分）
∴P(A)=

16

6×6

=

4

9

．               …（6分）
解法二：“有放回摸取”可看作獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，…（2分）
∵每次摸出一球得白球的概率為P=

2

6

=

1

3

．           …（4分）
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為P2(1)=

C

1 2

•p•(1-p)=

4

9

．      …（6分）
（Ⅱ）設(shè)摸得白球的個(gè)數(shù)為ξ，依題意得：
∵P(ξ=0)=

4

6

×

3

5

=

2

5

，P(ξ=1)=

4

6

×

2

5

+

2

6

×

4

5

=

8

15

，P(ξ=2)=

2

6

×

1

5

=

1

15

．…（9分）
∴它的分布列為

ξ	0	1	2
P	2 5	8 15	1 15

∴Eξ=0×

1

2

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

，…（12分）Dξ=(0-

2

3

)2×

2

5

+(1-

2

3

)2×

8

15

+(2-

2

3

)2×

1

15

=

16

45

．           …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．