【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.

1求橢圓的標準方程;

2已知點,為動直線與橢圓的兩個交點,問:在軸上是否存在點,使為定值?若存在,試求出點的坐標和定值,若不存在,請說明理由.

【答案】12定點為,.

【解析】

試題分析:1由離心率為可得,以原點為圓心,橢圓的長半軸為半徑的圓的方程為,其與直線相切,利用點到直線的距離等于半徑可得,再由即可求得,方程得解;2假設(shè)在軸上存在點,使為定值,設(shè)出點的坐標,根據(jù)向量數(shù)量積的運算得到坐標的關(guān)系,設(shè)出直線的方程,整理方程組得到坐標的關(guān)系并代入,要使其值與的斜率,則分離參數(shù),讓其系數(shù)為零,即得點坐標.

試題解析:1 由e=,,即c=a 又因為以原點O為圓心,

橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2,且與直線2x-y+6=0相切,

a=,代入①得c=2,所以b2=a2-c2=2.

橢圓的方程為1.

2 得:1+3k2x2-12k2x+12k2-6=0.

設(shè)Ax1,y1Bx2,y2,所以x1x2x1·x2,

根據(jù)題意假設(shè)x軸上存在定點Em,0使得2···為定值,

則有: ·x1-my1·x2-m,y2x1-m·x2-m+y1y2

x1-m)(x2-m+k2x1-2)(x2-2 k2+1x1x22k2+m)(x1+x24k2+m2

k21·2k2m·4k2m2.

要使上式為定值即與k無關(guān),則應(yīng)使3m212m+10=3m2-6 ,

此時 為定值定點為.

練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求a的值;

(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第3,4,5組中隨機抽取6名學(xué)生座談,求每組抽取的學(xué)生人數(shù);

(Ⅲ)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計隨機抽取學(xué)生所得測試分數(shù)的平均值在第幾組(只需寫出結(jié)論).

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,且每處理一噸生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價值為200元,若該項目不獲利,政府將給予補貼.

(1)當時,判斷該項目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損?

(2)該項目每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?

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(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?

(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損?

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