Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}$a．點(diǎn)E、F分別在PD、BC上，且PE：ED=BF：FC
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求證：EF∥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）由底面是菱形，加上∠ABC=60°，又對(duì)角線AC=a，可以得到菱形的邊長為a，這樣PAB，PAD由三邊長就可以得到∠PAB與∠PAD是直角，線面垂直得證．
（2）經(jīng)F點(diǎn)作AB的平行線交AD于M點(diǎn)，連接EM，由比例關(guān)系可證EM∥PA，由平面EFM∥平面PBA，EF?平面EFM即可證明EF∥平面PAB．

解答 證明：（1）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC=a，
∴菱形的邊長為a，
∵PB=PD=$\sqrt{2}$a．
∴PA²+AB²=PB²，PA²+AB²=PD²，
∴由勾股定理可得：PA⊥BA，PA⊥AD，又AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（2）經(jīng)F點(diǎn)作AB的平行線交AD于M點(diǎn)，連接EM，
∵FM∥AB，
∴BF：FC=AM：MD，
∵PE：ED=BF：FC，
∴PE：ED=AM：MD，
∴EM∥PA，
∴平面EFM∥平面PBA，EF?平面EFM，
∴EF∥平面PAB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識(shí)的考查．