Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{1}{12}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)信息建立等量關(guān)系，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用裂項(xiàng)相消法求出結(jié)果．

解答 解：定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．
由已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，
即$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
所以S_n=n（2n+1），
則a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，也成立．
則a_n=4n-1．
由于b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n，
所以$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{10}_{11}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$）
=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：信息題型的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．